Question

Помогите решить задание!

Answer 1

$(x^{2} + \sqrt{x+2a})^{2} = (1 - 2x + \sqrt{x + 2a})^{2}$

ОДЗ: $x + 2a \geq 0; \ x \geq -2a$

$(x^{2} + \sqrt{x + 2a} )^{2} - (1 - 2x + \sqrt{x + 2a} )^{2} = 0\\(x^{2} + \sqrt{x + 2a} - (1 - 2x + \sqrt{x + 2a}))(x^{2} + \sqrt{x + 2a} + 1 - 2x + \sqrt{x + 2a} ) = 0\\(x^{2} + 2x - 1)(x^{2} - 2x + 1 + 2\sqrt{x + 2a}) = 0\\(x^{2} + 2x - 1) ((x - 1)^{2} + 2\sqrt{x + 2a} ) = 0$

$1) \ x^{2} + 2x - 1 = 0\\D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8\\x_{1} = \dfrac{-2 + 2\sqrt{2}}{2} = -1 + \sqrt{2} \\x_{2} = \dfrac{-2 - 2\sqrt{2}}{2} = -1 - \sqrt{2}$

$2) \ (x - 1)^{2} + 2\sqrt{x + 2a} = 0$

Две неотрицательные величины складываются и в результате получаем ноль только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю одновременно:

$2.1) \ (x - 1)^{2} = 0\\x - 1 = 0\\x = 1$

$2.2) \ 2\sqrt{x + 2a} = 0\\x + 2a = 0\\x = -2a$

Оба уравнения (2.1 и 2.2) одновременно равны нулю, если их корни совпадают, то есть $-2a = 1; \ a = -\dfrac{1}{2}$. Следовательно, ОДЗ: $x \geq 1$ при $a = -\dfrac{1}{2}$. Значит, при $a = -\dfrac{1}{2}$ на отрезке $[-1; \ 1]$ имеем единственное решение.

Если $a \neq -\dfrac{1}{2}$ имеем два постоянных корня: $x_{1} = -1+\sqrt{2}; \ x_{2} = -1 - \sqrt{2}$. Из них только $x_{1} = -1 + \sqrt{2}$ принадлежит отрезку $[-1; \ 1]$. Но, согласно ОДЗ, этот корень должен выполнить условие:

$-1 + \sqrt{2} \geq -2a\\a \geq \dfrac{1 - \sqrt{2} }{2}$

Ответ: $a \in \bigg[ \dfrac{1 - \sqrt{2} }{2}; \ +\infty \bigg) \cup \bigg \{-\dfrac{1}{2} \bigg\}$.