Question

ПОЖАЛУЙСТА. Никто не может это решить, но супермены не сдаются, так ведь? Очень прошу, сделайте хотя бы несколько из тех что отмечены на фото:(((

Answer 1

$a^4+b^4 geq a^3b+ab^3\ a^4-a^3b+b^4-ab^3 geq 0\ a^3(a-b)-b^3(a-b) geq 0\ (a^3-b^3)(a-b) geq 0\ (a-b)^2(a^2-ab+b^2) geq 0$
Очевидно квадрат никогда не может равняться отрицательному числу то есть  выполняется 

$a^4+2a^3b+2ab^3+b^4 geq 6a^2b^2\ a^4+2a^3b+2ab^3+b^4-6a^2b^2 geq 0\ a^4+b^4+2ab(a^2+b^2-2ab)-2a^2b^2 geq 0\ (a^2-b^2)^2+2ab(a-b)^2 geq 0\ (a-b)^2*(a+b)^2+2ab(a-b) geq 0\ (a-b)((a-b)(a+b)^2+2ab) geq 0\ (b-a)^2(b^2+4ab+a^2) geq 0$
так как они одного знак и учитывая что в квадрате  то выполняется данное условие 


$(a+b)(frac{1}{a}+frac{1}{b}) geq 4 \ frac{a+b}{a}+frac{a+b}{b} geq 4\ 1+frac{b}{a}+frac{a}{b}+1 geq 4\ frac{b}{a}+frac{a}{b} geq 2\ a^2+b^2 geq 2ab\ (a-b)^2 geq 0\ a^2+b^2 geq 2ab$

То есть я здесь показал то что $a^2+b^2 geq 2ab$ всегда выполняется данное условие 

$(a+b)(b+c)(c+a) geq 8abc\ bc^2+ac^2+b^2c+2abc+a^2c+ab^2+a^2b geq 8abc$
Теперь воспользуемся неравенством Коши для Средних 
$bc^2+ac^2+b^2c+2abc+a^2c+ab^2+a^2b geq 8abc\ frac{bc^2+ac^2+b^2c+2abc+a^2c+ab^2+a^2b-abc}{8} geq abc\ sqrt[8]{bc^2*ac^2*b^2*c*2abc*a^2*c*a*b^2*a^2*b*abc}geq abc\ sqrt[8]{2a^8b^8c^8}=sqrt[8]{2}abc$
То есть левая часть верна 

$3(a+1)+a-4(2+a)<0\ 3a+3+a-8-4a<0\ -5<0$



$(7a-1)(7a+1)<49a^2\ 49a^2-1<49a^2\ -1<0$