Question

Доказать, что существуют арифметические прогрессии бесконечной длины составленные из степеней натуральных чисел, с натуральными показателями >1.

Answer 1

Бесконечно длинных арифметических прогрессий состоящих только из степеней не существует. Докажем это. Пусть есть прогрессия $ak+b$, где $k=0,1,2,\dots$ Пусть НОД $(a, b)=c$. Перепишем нашу прогрессию так:

$c(xk+y)$, где $cx=a$ и $cy=b$. В этом случае числа $x$ и $y$ взаимно просты. По теореме Дирихле, в арифметической прогрессии, у которой разность и первый член взаимно просты, есть бесконечно много простых чисел. Если число $p$ простое и $cp$ - это степень, тогда очевидно $c\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}} p$. Получается, что число $c$ делится на бесконечное кол-во простых чисел, а значит $c=0$, и наша последовательность - не прогрессия.

Поэтому, скорее всего имеются в виду прогрессии любой наперед заданной длины. Они как раз существуют. Покажем, как построить такую прогрессию. Будем пытаться сделать прогрессию длины $n$ такого вида:

$A^2(1+k)$

$k=0,1,2,\dots$

т. е. некоторое число $A^2$ умножается на натуральный ряд:

$A^2, 2A^2, 3A^2,\dots$

Видно, что в этом случае первый член являтся второй степенью. Потребуем также, чтобы $2A^2$ было 3-ей степенью, $3A^2$ было 5-ой степенью, и так далее: $nA^2$ - степень с показателем $p_n$ - n-ым простым числом.

Представим число $A$ в виде

$A=2^{a_1}3^{a_2}4^{a_3}\dots n^{a_{n-1}}$

Возьмем $a_1,a_2,\dots a_{n-1}$ такие, что

$a_m \equiv \frac{p_{m+1}-1}{2} \mod p_{m+1}$

и

$a_m\equiv 0 \mod p_l$ если $l \neq m+1$ (естественно $l < n$). Доказательство того, что такие числа $a_m$ существуют сразу следует из китайской теоремы об остатках.

В этом случае для любого натурального $1<q<n$

$qA^2=2^{2a_1}3^{2a_2}\dots q^{2a_{q-1}+1}}\dots n^{a_{n-1}}$

Из построения $a$ мы знаем, что все $2a_m$ кроме $2a_{q-1}$ делятся на $p_{q}$. Но

$2a_{q-1}+1\equiv 2\frac{p_q - 1}{2} + 1\equiv 0 \mod p_q$

Таким образом доказано, что все показатели степеней в разложении $qA^2$ делятся на $p_q$ а это означает, что

Указанным выше способом можно построить сколь угодно длинную арифметическую прогрессию, состоящую только из степеней.