Question

p- простое число меньшее 2018. Сумма всех возможных различных остатков от деления положительных целых степеней двойки на p равняется p. Найдите количество возможных различных значений p.

Answer 1

Пусть $p=2^k-a, k\in N, a\in N, a<2^{k-1}$

Тогда $p>2^k-2^{k-1}=2^{k-1}$. Значит остаток от деления $2^n$ на $p$ равен $2^n\; \forall n \leq k-1, n\in N$. Тогда сумма всевозможных остатков будет не меньше $1 +...+2^{k-1}=\dfrac{1(2^{k-1-0+1}-1)}{2-1}=2^k-1$

Значит для выполнения условий задачи необходимо $2^k-a\geq 2^k-1=>a\leq 1\\ a\in N=>a=1$

$p=2^k-1$

Теперь рассмотрим, что будет происходить с остатками следующих степеней двойки.

$n=k:\:2^k=2^k-1+1=p+1=>$ остаток равен 1 - а значит новых остатков не получим. А значит все простые числа вида $2^k-1$ (числа Мерсена) удовлетворяют условию задачи.

Число Мерсена является простым, только если $k$ также простое.

$2048>2018>1024=2^{10}$

Тогда остается рассмотреть числа $2^2-1=3,\:2^3-1=7,\:2^5-1=31,\:2^7-1=127$ - все простые

Ответ: 4 числа.