Question

Пусть x,y-натуральные числа.Известно что произведение Xy=27785835.На какую максимальную степень тройки может делиться x^2+y^2
Даю 20 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

$xy=27785835 = 3^8 \cdot 4235$

4235 не делится на 3. Тогда числа X и Y можно представить так:

$x=a\cdot 3^b\\y=c\cdot 3^d$

Такие что

$b+d=8\\ac=4235$

(a, c - натуральные, не делящиеся на 3, b, d - натуральные или 0)

Предположим без потери общности, что b не больше d.

$x^2+y^2=a^2\cdot3^{2b}+c^2\cdot3^{2d}=3^{2b}(a^2+3^{2(d-b)}c^2)$

Если b не равно d, то второе слагемое в скобках делится на 3, а первое - нет. Значит, и вся скобка не делится на 3. В таком случае, максимальная степень тройки на которую делится все выражение - 2b. А это не больше 6:

$b<d,\, b+d=8 \Rightarrow b<3$

Если же b=d, то выражение делится как минимум на 3^8. Осталось понять на какую максимальную степень тройки может делится

$a^2+c^2$

При условии, что $ac=4235$.

Если два числа не делятся на 3, то и сумма их квадратов не делится на 3:

$(\pm 1)^2 + (\pm 1)^2 \equiv -1 \mod 3$

Так что скобка не может делится на 3.