Question

Пусть а=√10-√11. Докажите, что значение выражения а^2+1/а^2 является целым числом

Answer 1

Доказательство. Найдем значение данного выражения:

$a^2+\frac{1}{a^2} =(\sqrt{10}-\sqrt{11})^2+\frac{1}{(\sqrt{10}-\sqrt{11})^2}=10-2\sqrt{10}\sqrt{11}+11+\frac{1}{21-2\sqrt{110}} =21-2\sqrt{110}+\frac{21+2\sqrt{110}}{( 21+2\sqrt{110})( 21-2\sqrt{110})}=21-2\sqrt{110}+\frac{21+2\sqrt{110}}{441-440}=21-2\sqrt{110}+21+2\sqrt{110}=21+21=42.$

42 - число целое, а значит мы доказали то, что нужно.