Question

Решение пожалуйста, дифференциальные уравнения

Answer 1

Умножим обе части уравнения на $\dfrac{1}{x}$, мы получим

$\dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}=xe^x~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{y'x-y}{x^2}=xe^x~~~\Rightarrow~~~ \left(\dfrac{y}{x}\right)'=xe^x$

Проинтегрируем обе части уравнения:

$\dfrac{y}{x}=\displaystyle \int xe^xdx$

Интеграл в последнем уравнении стоящий справа решим по частям

$\displaystyle \int xe^xdx=\left\{\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ dv=e^xdx;~~~~ v=e^x\end{array}\right\}=xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+C$

$\dfrac{y}{x}=xe^x-e^x+C\\ \\ y=xe^x(x-1)+Cx$

Получили общее решение.

Найдём теперь частное решение, подставив начальные условия.

$e=1\cdot e\cdot (1-1)+C\cdot 1\\ \\ C=e$

Частное решение: $y=xe^x(x-1)+ex$