Question

СРОЧНО
Сколькими способами можно выбрать:
а) 7 предметов из 9; б) 2 предмета из 6; в) 4 предмета из 7;
г) 5 предметов из 10?

Answer 1

Ответ:

    а). 36.

    б). 15.

    в). 35.

    г). 252.

Решение:

• Для решения этой задачи нужно знать важное правило: если нам нужно выбрать $k$ предметов из $n$ (без учета порядка и без повторений), то число способов это сделать, равно "цэ из эн по ка": $\displaystyle C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $a!=a \cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ - "факториал"). Формулу иногда немного сложно запомнить, но очень важная в комбинаторике.

а). 7 предметов из 9:

• $C_9^7=\dfrac{9!}{7!(9-7)!} = \dfrac{9!}{7! \cdot 2!} =\dfrac{9 \cdot 8}{1 \cdot 2} =\dfrac{72}{2} = 36.$

б). 2 предмета из 6:

• $C_6^2=\dfrac{6!}{2!(6-2)!} = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} =\dfrac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} =\dfrac{30}{2} = 15.$

в). 4 предмета из 7:

• $C_7^4=\dfrac{7!}{4!(7-4)!} = \dfrac{7!}{4! \cdot 3!} =\dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} =\dfrac{6 \cdot (7 \cdot 5)}{6} = 35.$

г). 5 предметов из 10:

• $C_{10}^5=\dfrac{10!}{5!(10-5)!} = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} =\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =252.$

Задача решена!