Question

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график
$y=\frac{4x}{4+x^{2} }$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

ДАНО: y= 4*x/(x²+4)

1. Область определения:  Непрерывная гладкая.

D(y)= R = (-∞;+∞).

2. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

y = 4*x/(x²+4) = 0 . Нуль функции: x = 0.

3. Пересечение с осью ОУ: Y(0) = 0.  

4. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0).

Положительна: Y(x)>0 - X∈(0;+∞;)  

5. Проверка на чётность.

Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x).    

6. Поиск экстремумов по первой производной.      

Y'(x) = (16-4*x²)/(x²+4)² = 0  Решаем в числителе?  4*x² = 16,    

x1 = -2  x2 = 2

7. Локальные экстремумы:

Ymin(-2 = - 1,    Ymax(2) = 1.

8. Интервалы монотонности.    

Убывает:  x∈(-∞;-2)∪(2;+∞)

Возрастает: x∈[-2;2]

9. Поиск перегибов  по второй производной.    

Y"(x) = 8*x*(x²-12)/(x²+4)³ = 0.

Точки перегиба: при х1 = -2√3 (≈-3,5),  х2= 0, х3 =  2√3 (≈3,5)    11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-2√3;0)∪(2√3;+∞),

выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-2√3)∪(0;2√3);    

12. Наклонная асимптота.

k = lim(+∞) Y(x)/x = 4/(x²+4) = 0

b = lim(+∞) Y(x) = 0

Горизонтальная асимптота: Y = 0.

13. Область значений. E(y) - y∈[-1;1].    

14. График функции на рисунке в приложении.  

Графики производных - излишества для демонстрации функций.