Question

Решите уравнение корень из x+2>x

Answer 1

$\sqrt{x + 2} > x$

Рассмотрим два случая:

$1) \ \sqrt{x + 2} > x, \ x \geq 0\\2) \ \sqrt{x + 2} > x, \ x < 0$

Решим оба неравенства:

$1) \ \sqrt{x + 2} > x, \ x \geq 0\\(\sqrt{x + 2})^{2} > x^{2}\\x + 2 > x^{2}\\x^{2} - x - 2 < 0\\x^{2} - x - 2 = 0\\x_{1} = 2; \ x_{2} = -1\\\left \{ {\bigg{x \in (-1; \ 2)} \atop \bigg{x \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right. \\x \in [0; \ 2)$

$2) \ \sqrt{x + 2} > x, \ x < 0$

Так как вторая часть неравенства меньше нуля, значит, данное неравенство верно всегда при

$x + 2 \geq 0;\\x \geq -2$

Объединим решение этих двух неравенств и найдем их пересечение. Пересечением будет $x \in [-2; \ 2)$

Ответ: $x \in [-2; \ 2)$