Question

Исследовать сходимость рядов



Помогите, пожалуйста

Answer 1

$1)\; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty }\frac{n^7}{3^{n}}\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\Big (\frac{(n+1)^7}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^{n}}{n^7}\Big ) =\frac{1}{3}<1\; \; \to \; \; sxoditsya\\\\\\2)\; \;  \sum\limits _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\, ln^3n}}\\\\\int\limits^{\infty }_2\, \frac{dx}{x\, ln^3x}\, dx=\lim\limits _{A \to \infty}\int\limits^{A}_2\, \frac{d(lnx)}{ln^3x}=\lim\limits _{A \to \infty}\frac{-1}{2\, ln^2x}\Big |_2^{A}=$

$=\lim\limits _{A \to \infty}\Big (-\frac{1}{2\, ln^2A}+\frac{1}{2\, ln^22}\Big )=-\infty +\frac{1}{2\, ln^22}=-\infty \; \; \to \; \; \; rasxoditsya$

$3)\; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty }\frac{7^{3n}}{(2n)!}\\\\\lim\limits _{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n \to \infty}\Big (\frac{7^{3n+3}}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{7^{3n}}\Big )=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{7^3}{(2n+1)(2n+2)}=0<1\; \to \; sxoditsya$

$4)\; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty }\frac{2n+9}{3n+1}\\\\\lim\limits _{n \to \infty}a_n = \lim\limits _{n \to \infty}\frac{2n+9}{3n+1}=\frac{2}{3}\ne 0\; \to \; \; rasxoditsya$

$5)\; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty }\, arctg^{n}\frac{n}{5}\\\\ \lim\limits _{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}= \lim\limits _{n \to \infty}\, arctg\frac{n}{5}=\frac{\pi}{2}>1\; \; \to \; \; rasxoditsya$