Даны координаты вершин тетраэдра АВСD
A(0, 0, 0)
B(1, 1, 1)
C(1, 2, 3)
D(1, 3, 6)
B(1, 1, 1)
C(1, 2, 3)
D(1, 3, 6)
Ответы
Даны координаты вершин тетраэдра АВСD :
A(0, 0, 0), B(1, 1, 1) , C(1, 2, 3, D(1, 3, 6).
А) Площадь основания АВС.
Находим векторы АВ и АС.
АВ = (1; 1; 1), АС = (1; 2; 3).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
1 1 1 | 1 1
1 2 3 | 1 2 = 3i + 1j + 2k - 3j - 2i - 1k = 1i - 2j + 1k.
Нормальный вектор к плоскости АВС равен (1; -2; 1).
Площадь АВС равна половине модуля векторного произведения:
S = (1/2)*√(1 + 4 + 1) = √6/2 ≈ 1,225.
Б) Уравнение высоты тетраэдра DК.
Её направляющий вектор найден - он равен нормальному вектору плоскости АВС(1; -2; 1).
Используем координаты точки D.
Уравнение прямой DК: (x – 1)/1 = (y – 3)/(-2) = (z – 6)/1.
В) Уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно DК.
Её направляющий вектор найден равен направляющему вектору высоты DК.
Осталось подставить координаты точки С.
Уравнение прямой СР: (x – 1)/1 = (y – 2)/(-2) = (z – 3)/1.
Г) Расстояние от точки С до грани ABD.
Пусть точка М – проекция точки С на плоскость ABD.
Находим векторы АВ и АD.
АВ = (1; 1; 1), АD = (1; 3; 6).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
1 1 1 | 1 1
1 3 6 | 1 3 = 6i + 1j + 3k - 6j - 3i - 1k = 3i - 5j + 2k.
Площадь грани ABD равна половине модуля полученного векторного произведения.
S(ABD) = (1/2)*√(9 + 25 + 4) = (1/2)√38.
Полученный вектор (3; -5; 2) – это вектор нормали к плоскости АВD, то есть высоты СМ.
Получаем уравнение высоты СМ: (x – 1)/3 = (y – 2)/(-5) = (z – 3)/2.
Находим объём пирамиды как (1/6) модуля смешанного произведения векторов АВ и АС (1; -2; 1) на AD (1; 3; 6)..
V = (1/6)*(1 –6 + 6) = (1/6) куб.ед.
Тогда длина высоты СМ равна:
h(CM) = 3V/S(ABD) = (3*(1/6))/( (1/2)√38) =1/√38 = √38/38 ≈ 0,162.
Д) Уравнение плоскости, проходящей через точки В и С перпендикулярно плоскости АВС.
Если через точки В и С провести прямые с направляющим вектором как у высоты DK, то получим 2 параллельные прямые, перпендикулярные плоскости АВС.
Одна прямая уже известна – это СР: (x – 1)/1 = (y – 2)/(-2) = (z – 3)/1.
Аналогична прямая через точку В – это ВТ: (x – 1)/1 = (y – 1)/(-2) = (z – 1)/1.
Найдём точку на прямой СР. Для этого уравнение прямой представим в параметрическом виде.
СР: (x – 1)/1 = (y – 2)/(-2) = (z – 3)/1 = t.
x = t + 1,
y = -2t + 2,
z = t + 3.
Примем t = 1, тогда x = 2, y = 0, z = 4. Пусть это координаты точки Р.
Имеем 3 точки В, С, и Р, через которые проведём искомую плоскость.
x – x1 y – y1 z – z1
x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1
x3 – x1 y3 – y1 z2 – z1.
Подставим координаты точек.
x -1 y – 1 z – 1 | x – 1 y – 1
1 – 1 2 – 1 3 – 1 | 1 – 1 2 – 1
2 – 1 0 – 1 4 – 1 | 2 – 1 0 – 1
x -1 y – 1 z – 1 | x – 1 y – 1
0 1 2 | 0 1
1 – 1 3 | 1 – 1 =
= 3(x – 1) + 2(y – 1) – 0 – 0 + 2(x – 1) – 1(z – 1) = 3x – 3 + 2y – 2 + 2x – 2 – 1z + 1 =
= 5x + 2y - 1z – 6=0.
Е) Длина ребра BD.
Вектор BD = (0; 2; 5). Его модуль (длина) равен √(0² + 2² + 5²) = √29 ≈ 5,385.
Ж) Объём пирамиды найден в пункте В.
V = (1/6) куб.ед.
З) Угол при вершине С грани BCD.
Находим векторы:
СВ = (0; -1; -2), модуль равен √(0² + (-1)² + (-2)²) = √5.
CD = (0; 1; 3), модуль равен √(0² + 1² + 3²) = √10.
Их скалярное произведение равно:
СВ х CD = 0 – 1 – 6 = -7.
cos C = -7/(√5*√10) = -7/√50 ≈ -0,989949.
Угол С равен arc cos (-0,989949) = 2,999696 радиан или 171,8699 градуса.
И) Угол между ребром CD и плоскостью АВС.
Вектор CD = (0; 1; 3), нормальный вектор к плоскости АВС равен (1; -2; 1) (найдены ранее).
угол между этой прямой и плоскостью
sin φ = | A • l + B • m + C • n |
√(A² + B² + C²) • √(l² + m² + n²)
Направляющий вектор прямой имеет вид: s = {l; m; n}.
Вектор нормали плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0.
sin φ = (1*0 – 2*1 + 1*3)/( √6*√10) = 1/√60 ≈ 0,129.
φ = arc sin (1/√60) = 0,129 радиан или 7,418 градуса.
