Question

Решите пожалуйста и расспиштите решение подробно. 50 баллов
lim x²-8x+7/(x-7) ²
x→7

/-это дробь(деление)

lim x²- 2x-8/2x²+5x+2
x→2

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{x \to 7}\frac{x^2-8x+7}{(x-7)^2}=\Big [\, x^2-8x+7=0\; ,\; x_1=1\; ,\; x_2=7\; \; (teorema\; Vieta)\; \Big ]=\\\\=\lim\limits _{x \to 7}\, \frac{(x-1)(x-7)}{(x-7)^2}=\lim\limits _{x \to 7}\frac{x-1}{x-7}=\Big [\; \frac{7-1}{7-7}=\frac{6}{0}\; \Big ]=\infty$

$2)\; \; \lim\limits _{x \to 2}\frac{x^2-2x-8}{2x^2+5x+2}=\Big [\; x^2-2x-8\; ,\; x_1=2\; ,\; x_2=-4\; ;\\\\2x^2+5x+2=0\; ,\; x_1=-\frac{1}{2}\; ,\; x_2=-2\, \Big ]=\lim\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+4)}{2(x+\frac{1}{2})(x+2)}=\\\\=\lim\limits _{x \to 2}\frac{(x-2)(x+4)}{(2x+1)(x+2)}=\frac{0\cdot 6}{5\cdot 4}=\frac{0}{20}=0$

$P.S.\; \; \; \; 2^*)\; \; \lim\limits _{x \to 2}\frac{x^2-2x-8}{2x^2-5x+2}=\Big [\; x^2-2x-8\; ,\; x_1=2\; ,\; x_2=-4\; ;\\\\2x^2-5x+2=0\; ,\; x_1=\frac{1}{2}\; ,\; x_2=2\, \Big ]=\lim\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+4)}{2(x-\frac{1}{2})(x-2)}=\\\\=\lim\limits _{x \to 2}\frac{(x-2)(x+4)}{(2x-1)(x-2)}=\lim\limits_{x \to 2}\frac{x+4}{2x-1}=\frac{6}{3}=2$