Question

$\frac{2}{\frac{1}{x} +\frac{1}{y} } \leq \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}$
Докажите. x, y >= 0

Answer 1

Это неравенство Коши (неравенство о средних) , который гласит, что для неотрицательных x,y верно неравенство

$x_{garmon}\leq x_{geom}\leq x_{arithm}~~~~\Leftrightarrow~~~~ \dfrac{2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}\leq\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$

Причем равенство достигается при x = y.