Тема : Применение производной к исследованию функций и построению её графика
Задание : f(x)=-x³-3x²+1
Ответы
Дана функция f(x)=-x³-3x²+1.
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R.
2. Функция f (x) = -x^3-3x^2+1 непрерывна на всей области определения. Точек разрыва функции нет.
Область значений функции у ∈ (-∞; +∞).
3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:
График пересекает ось Оу, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x³-3x²+1.
у= -0³-3*0²+1= 1,
Результат: y=1. Точка: (0; 1).
4. Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось Ох при y = 0, значит, нам надо решить уравнение: -x^3 - 3x^2 + 1 = 0 .
Для вычисления корней данного кубического уравнения используются формулы Кардано для кубического уравнения вида x³ - ax² + bx + c = 0.
Исходное уравнение приводится к виду: y³ + py + q = 0 с помощью подстановки х = у – (а/3). Для данного уравнения а = 3, b = 0, c = -1.
Вычисляем Q = (a²- 3b)/9 = 1
R=(2a³ - 9ab + 27c)/54 = 0,5
Вычисляем S = Q³ - R² = 0,75
a) Если S>0, то вычисляем
φ=(arccos(R/Q3/2))/3 = 0,5
И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):
x1= - 2(Q)1/2cos(φ) - a/3 = -2,879385242
x2= - 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) - a/3 = 0,532088886
x3= - 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) - a/3 = -0,652703645
Результат: y=0. Точки: (-2,8794; 0), ( 0,532; 0) и ( -0,6527; 0).
5. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = -3x² – 6х = 0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:
-3x(х+2) = 0,
х1 = 0, х2 = -2.
Результат: y’=0. Точки: (0; 1) и (-2; -3).
6. Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена. На промежутках находят знаки производной.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
х = -3 -2 -1 0 1
y' = -9 0 3 0 -9
Минимум функции в точке: х = -2,
Максимум функции в точке: х = 0.
Возрастает на промежутке: (-2; 0).
Убывает на промежутках: (-∞; -2) U (0; ∞).
7. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, + нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:
y''=-6x – 6 = 0.
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:
-6x – 6 = 0.
x=6/(-6)= -1. Точка: (-1; 0)
8. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов :
Вогнутая на промежутках: (-∞; -1).
Выпуклая на промежутках: (-1; ∞).
9. Вертикальные асимптоты – нет.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:
lim 1-3x²-x³, x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim 1-3x²-x³, x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
Наклонные асимптоты графика функции:
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при
Находим коэффициент k:
k=lim┬(n→∞)〖(-x^3-3x^2+1)/x=-∞.〗
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.
10. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - чётна или нечётна - с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
y(-x) = -(-x)³ – 3(-x)² + 1 = x³ - 3x² + 1 ≠ y(x)
-y(-x) = -(-(-x)³ – 3(-x)² + 1) = -x³ + 3x² - 1 = -(х³-3х²+1) ≠ y(x)
Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
11. Таблица точек
x y
-3.0 1
-2.8 -0.57
-2.6 -1.7
-2.4 -2.46
-2.2 -2.87
-2.0 -3
-1.8 -2.89
-1.6 -2.58
-1.4 -2.14
-1.2 -1.59
-1.0 -1
-0.8 -0.41
-0.6 0.14
-0.4 0.58
-0.2 0.89
0 1
0.2 0.87
0.4 0.46
0.6 -0.3
0.8 -1.43
1.0 -3
