Question

Доведідь що при будь-якому натуральному n виконується рівність :
1•2+2•3+3•4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)
3

Answer 1

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+...+n(n+1)=1\cdot (1+1)+2\cdot (2+1)+3\cdot (3+1)+\\ \\ \\ +...+n(n+1)=\Big(1^2+2^2+3^2+...+n^2\Big)+\Big(1+2+3+...+n\Big)~\boxed{=}$

В первой скобке это сумма квадратов натуральных чисел, для нее известная формула есть $\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, а вторая скобка это арифметическая прогрессия с первым членом 1 и d = 1

$\boxed{=}~\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{1+n}{2}\cdot n=\dfrac{n(n+1)}{2}\left(\dfrac{2n+1}{3}+1\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot \dfrac{2n+1+3}{3}=\dfrac{n(n+1)}{2}\cdot \dfrac{2n+4}{3}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$