Question

Тема комплексные числа. Дам 100 баллов, кто сделает быстрее. Срочно надо.
Разложить многочлен x^4-2x^3+3x^2+4x-10 на множители(необязательно действительные), если один из корней равен 1+2i.

Answer 1

Имеем один комплексный корень, в разложении многочлена $x^4-2x^3+3x^2+4x-10$ есть множитель трехчлен, два корня которого комплексно сопряженные, т.е. корни 1 ± 2i

Сумма корней: $1+2i+1-2i=2$

Произведение корней: $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$

Значит данный многочлен содержит множитель $x^2-2x+5$. Следовательно, можем разложить на множители в виде одночленов суммы нескольких

$x^4-2x^3+3x^2+4x-10=x^4-2x^2-2x^3+4x+5x^2-10=\\ \\ =x^2(x^2-2)-2x(x^2-2)+5(x^2-2)=(x^2-2)(x^2-2x+5)$