Question

На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3?

Answer 1

Ответ:

4 способа.

Пошаговое объяснение:

Признак делимости на 9: Число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.

Признак делимости на 3: Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 3.

Пусть на доске записано некоторое натуральное число. По условию к нему двумя способами приписать цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Пусть сумма цифр числа равно S.

Рассмотрим случаи:

Случай-1. Число не делится на 9, тогда и сумма цифр S не делится на 9, то есть остаток от деления числа S больше нуля: S=k·9+A, где k - целое не отрицательное число, А остаток от деления и 0<A<9. Если к остатке прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим неравенство

0<A+В<9+В≤18 или 0<A+В<18

Поэтому к нему можно приписать только одну цифру В так, чтобы S+В делилась на 9. По условию можно двумя способами приписать, что означает не этот случай.

Случай-2. Число делится на 9, тогда и сумма цифр S делится на 9, то есть остаток от деления числа S равен нулю: S=k·9+0, где k - целое не отрицательное число. Так как k·9 делиться на 9, то если к нему прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим k·9+В и это число делится на 9, если В=0 или В=9. Поэтому по условию именно этот случай имеется в виду.

В таком случае, имея в виду то, что 9=3² перепишем сумму цифр числа: S=k·9=m·3, где m - натуральное число. Если к нему прибавить любую цифру В (В цифра, то есть 0≤В≤9) получим m·3+В и это число делится на 3, если В делится на 3. Поэтому цифра В может быть только цифрами 0, 3, 6 и  9.

Ответ: 4 способа.