Question

3x^5-5x^3+2=0
Решить уравнение

Answer 1

Заметим что х = 1 - корень уравнения. Разложим на множители левую часть уравнения, добавляя и вычитая одинаковые слагаемые

$3x^5-3x^4+3x^4-3x^3-2x^3+2x^2-2x^2+2x-2x+2=0\\ 3x^4(x-1)+3x^3(x-1)-2x^2(x-1)-2x(x-1)-2(x-1)=0\\ (x-1)(3x^4+3x^3-2x^2-2x-2)=0\\ x_1=1\\ \\ 3x^4+3x^3-2x^2-2x-2=0$

Снова заметим что x = 1 является корнем уравнения. Тогда левую часть уравнения можно представить как :

$3x^4-3x^3+6x^3-6x^2+4x^2-4x+2x-2=0\\ 3x^3(x-1)+6x^2(x-1)+4x(x-1)+2(x-1)=0\\ (x-1)(3x^3+6x^2+4x+2)=0\\ \\ 3x^3+6x^2+4x+2=0$

Домножим левую и правую части уравнения на 3, получим

$27x^3+54x^2+36x+18=0\\ \\ \Big(27x^3+54x^2+36x+8\Big)+10=0\\ \\ (3x+2)^3+10=0\\ \\ (3x+2)^3=-10\\ \\ 3x+2=-\sqrt[3]{10}\\ \\ x_2=-\dfrac{2+\sqrt[3]{10}}{3}$

Ответ: $-\dfrac{2+\sqrt[3]{10}}{3},~~~ 1.$