Question

Основание пирамиды- ромб с углом 30 градусов . Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен √3 см (помогите пожалуйста)

Answer 1

Пусть H - высота пирамиды PABCD, основание которой - ромб ABCD с углом 30o при вершине A, PM - перпендикуляр, опущенный на сторону BC. По теореме о трех перпендикулярах HM $ \perp$ BC. Значит, PMH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью BCP и плоскостью основания ABCD. Поэтому $ \angle$PMH = 60o.

Опустив перпендикуляры из вершины P на остальные стороны ромба и рассмотрев полученные прямоугольные треугольники с общим катетом PH и противолежащим углом, равным 60o, докажем, что точка H равноудалена от всех четырех прямых, содержащих стороны ромба ABCD. Поэтому H - центр окружности, вписанной в этот ромб, т.е. точка пересечения его диагоналей.

Опустим перпендикуляр BF из вершины ромба на сторону AD. Тогда BF = 2r. Из прямоугольного треугольника ABF находим, что AB = 2 . BF = 4r. Значит,

S(ABCD) = AD . BF . sin 30o = AB . BF . sin 30o = 8r2.

Из прямоугольного треугольника PMH находим, что

PH = HM . tg60o = r$\displaystyle \sqrt{3}$.

Следовательно,

V(PABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(ABCD) . PH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$8r2 . r$\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$r3$\displaystyle \sqrt{3}