. Решите уравнение x2+y2+z2 = 2015 в целых числах,
Ответы
Условие:
Решить уравнение x² + y² + z² = 2015 в целых числах.
Решение:
Будем опираться на следующее утверждение:
"Квадрат целого числа при делении на 8 может давать в остатке, либо 0, либо 1, либо 4" - доказательство этого утверждения приведем ниже, а пока будем использовать его.
Заметим, что число 2015 - нечетное и при делении на 8 дает в остатке 7 (2015 = 8 · 251 + 7). Выясним какой остаток при делении на 8 дает левая часть уравнения.
Очевидно, что одновременно все 3 квадрата не могут быть четными (в противном случае и их сумма была бы четной), а также не может быть четным только 1 какой-нибудь квадрат (тогда сумма также была бы четной), поэтому возможны следующие комбинации остатков слагаемых (без учета порядка, так как от перестановки слагаемых сумма не меняется):
(0; 0; 1) - остаток суммы равен 1
(0; 1; 4) - остаток суммы равен 5
(1; 1; 1) - остаток суммы равен 3
(1; 4; 4) - остаток суммы равен 1, так как 9 = 8 · 1 + 1
Будучи уверенным, что мы рассмотрели все возможные комбинации остатков, убеждаемся, что среди них нет 7, а значит числа стоящие слева и справа не могут совпадать. Уравнение решений не имеет.
Доказательство утверждения:
Число, возводимое в квадрат может быть нечетным (2k - 1), так и четным (2k).
1) Нечетное (2k - 1)² = 4k² - 4k + 1 = 4k·(k - 1) + 1, учитывая, что k·(k-1) делится на 2 (из двух, идущих подряд чисел - одно обязательно четное), получаем, что 4k·(k - 1) делится на 8, а 4k·(k - 1) + 1 при делении на 8 дает остаток 1. Таким образом квадрат нечетного числа при делении на 8 всегда дает остаток 1
2) Четное. (2k)² = 4k² - число делится на 4, а на 8 оно делится, если k - четное (т.е. k = 2n) в этом случае остаток равен 0, если же k - нечетное (k = 2n - 1), то получаем:
(2k)² = (2·(2n - 1))² = 4·(4n² - 4n + 1) = 16n² - 16n + 4 = 8·(2n² - 2n) + 4, то есть в этом случае при делении на 8 получаем остаток 4
Мы рассмотрели все случаи для целого числа, а значит утверждение доказано.