Question

Исследуйте функцию f(x) = $\sqrt{3-2x-x^{2} }$ и постройте ее график?

Answer 1

1 область определения находим из условия 3-2х-х²≥0

-3+2х+х²≥0, по теореме, обратной теореме Виета, левая часть имеет корни х=1, х=-3, и левая часть раскладывается на линейные множители (х-1)*(х+3)≤0, мтеодом интервалов находим

____-3_______1_________

+               -               +

т.е. область определения [-3;1]

Область значений - все  неотрицательные действительные числа.

Наименьшее значение равно нулю.

Найдем критические точки, для чего ищем производную

f'(x)=(1/2√(3-2х-х²))*(-2x-2)

Производная равна нулю, если х=-1, Исследуем функцию на максимум, минимум и экстремум

_-3_______-1_______1_____

    +                     -

Значит, -1- точка максимума, максимум равен √(3-2*(-1)-(-1)²)=√4=2

При переходе через критическую точку знак производной меняется с плюса  на минус, значит, на промежутке [-3 ;-1] функция возрастает, а на промежутке [-1 ;1] функция убывает.

График см. во вложении.