Question

решить уравнение..............................................................................

Answer 1

Так как х = 0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на х. Получим

$\sqrt[4]{13+\dfrac{1}{x}}+\sqrt[4]{4-\dfrac{1}{x}}=3$

Пусть $\dfrac{1}{x}=t$, получим

$\sqrt[4]{13+t}+\sqrt[4]{4-t}=3$

Теперь выполним замену $\sqrt[4]{13+t}=a;~\sqrt[4]{4-t}=b$, тогда $a^4=13+t;~~ b^4=4-t$

$t=4-b^4$

$a^4=13+4-b^4~~~\Rightarrow~~~ a^4+b^4=17$                     (*)

Получаем, что сумма $a+b=3$. Теперь упростим (*)

$a^4+b^4+2a^2b^2-2a^2b^2=17\\ (a^2+b^2)-2a^2b^2=17\\ (a^2+2ab+b^2-2ab)^2-2a^2b^2=17\\ ((a+b)^2-2ab)^2-2a^2b^2=17\\(3^2-2ab)^2-2a^2b^2=17\\ 81-36ab+4a^2b^2-2a^2b^2=17\\ 2a^2b^2-36ab+64=0~|:2\\ a^2b^2-18ab+32=0$

Квадратное уравнение относительно ab, тогда по т. Виета

$ab=16\\ ab=2$

Возвращаемся к обратной замене

$\sqrt[4]{13x+1}\cdot \sqrt[4]{4x-1}=16\\ \sqrt[4]{52-9t-t^2}=16$

Возводим обе части уравнения до четвертой степени

$52-9t-t^2=65536\\ t^2+9t+65484=0$

Это квадратное уравнение действительных корней не имеет, поскольку его дискриминант отрицательный.

$\sqrt[4]{13x+1}\cdot \sqrt[4]{4x-1}=2\\ \sqrt[4]{52-9t-t^2}=2$

Опять же возводим обе части уравнения до четвертой степени

$52-9t-t^2=16\\ t^2+9t-36=0$

По теореме Виета

$t_1=-12\\ t_2=3$

Тогда

               $\dfrac{1}{x}=-12~~~~\Rightarrow~~~~ x_1=-\dfrac{1}{12}\\ \\ \dfrac{1}{x}=3~~~~~\Rightarrow~~~~~ x_2=\dfrac{1}{3}$

Отрицательный корень посторонний, т.к. ОДЗ уравнения x ≥ 1/4

Ответ: 1/3.