Question

Помогите пожалуйста даю 35 баллов. Докажите, что
$\sqrt{5}$
не является рациональным числом. ​

Answer 1

Пусть число $\sqrt5$ рационально. Тогда $\exists m, n\in Z \backslash \{0\}, HOD(m,\:n)=1:\:\:\: \sqrt5=\dfrac{m}{n}=>\\ 5=\dfrac{m^2}{n^2}=>5n^2=m^2=>m^2\vdots 5$

Т.к. 5 - простое, то $m\vdots 5=>m=5k, k \in Z \backslash \{0\}, HOD(k,\:n)=1=>5n^2=25k^2=>n^2=5k^2=>n^2\vdots 5=>n\vdots 5$ - т.е. и $n$, и $m$ кратны 5, а значит $HOD(m,\:n)\neq 1$ - противоречие.

А значит предположение неверно, и число $\sqrt5$ иррационально.

Ч.т.д.