Помогите пожалуйста! Исследование функции 30 б.
Ответы
Исследование функций по схеме:
1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.
2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна. Поэтому и вертикальных асимптот нет.
3. Точки пересечения функции с осями координат.
С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 0).
С осью Ох при у = 0. Надо решить уравнение x^(2/3) - x = 0.
x^(2/3) = x^1. Это возможно при х = 0 и х = 1.
Получаем 2 точки пересечения: х = 0, х = 1.
4. Четность, нечетность.
f(-х) =(-x)^(2/3) - (-x) = x^(2/3 + x = 0. ≠ f(x), ≠ -f(x).
Функция не чётная и не нечётная.
5. Периодичность: не периодическая.
6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Находим производную: y' = (2/3)x^(-1/3) - 1 = (2 - 3∛x)/(3∛x).
Приравниваем её нулю (достаточно числитель): 2 - 3∛x = 0.
х = (2/3)³ = 8/27.
Имеем 1 критическую точку: х = 8/27.
Так производная функции в точке х = 0 не определена, то имеем 3 промежутка монотонности функции: (-∞; 0), (0; (8/27) и ((8/27); +∞).
Находим знаки производной на полученных промежутках.
х = -1 0 1/4 8/27 1
y' = -1,6667 - 0,05827 0 -0,3333
Видим, что при прохождении через точку х = 8/27 производная меняет знак с + на -, то это максимум функции (локальный).
Промежуток возрастания (y' > 0): (0; 8/27).
Убывания: (-∞; 0) ∪ (8/27; +∞).
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная равна y'' = -2/ 9x∛x.
Это выражение не может быть равно 0, поэтому у функции нет точек перегиба.
8. Наклонные асимптоты: нет.
9. Построение графика. Таблица точек:
x y
-2.0 3.59
-1.5 2.81
-1.0 2
-0.5 1.13
0 0
0.5 0.13
1.0 0
1.5 -0.19
2.0 -0.41
2.5 -0.66
3.0 -0.92
3.5 -1.19
4.0 -1.48
