Question

отрезок DE параллелен AC, ВE:EC=3:1, отрезок CК проходит через середину отрезка DE. Найдите отношение DK:AB.

Answer 1

Дано : ΔABC,  DE║AC,  BE:EC = 3:1,

           CK ∩ DE = O,   DO = OC

Найти : DK : AB

Решение :

$\dfrac{BE}{EC}=\dfrac 31\ \ \ \Rightarrow\ \ \ BE=3EC\\\\BC=BE+EC=3EC+EC=4EC\\\\\Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{\dfrac {EC}{BC}=\dfrac 14}$

По теореме Фалеса

$DE\parallel AC\ \ \Rightarrow\ \ \dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac31\ \ \Rightarrow\ \ AD=\dfrac{BD}3\\\\AB=AD+BD=\dfrac{BD}3+BD\\\\AB=\dfrac43BD\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{BD=\dfrac 34AB}$

Проведём  отрезок   ET║AB

ΔDKO  и  ΔETO :

DO = OC  -  по условию

∠KOD = ∠TOE  -  как вертикальные

∠KDO = ∠TEO  - как накрест лежащие при ET║AB и секущей CK

⇒  ΔDKO = ΔETO  по стороне и двум прилежащим углам

⇒   ET = DK

ΔETC  и  ΔBKC :

∠ECT - общий,

∠ETC = ∠BKC  - как накрест лежащие при ET║AB и секущей CK

⇒   ΔETC ~ ΔBKC  по двум равным углам

$\dfrac{ET}{BK}=\dfrac{EC}{BC}=\dfrac14\ \ \ \Rightarrow\ \ \ BK=4ET=4DK$

BD = BK + DK = 4DK + DK    ⇒    BD = 5DK

$BD = 5DK = \dfrac 34AB\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \boxed{\boldsymbol{\dfrac{DK}{AB}=\dfrac3{20}}}$

Ответ : DK : AB = 3 : 20