Question

40 БАЛЛОВ! 13 задание

Answer 1

По формуле приведения:

$\sin(\pi+x)=-\sin x$

По основному тригонометрическому тождеству:

$\cos^2x=1-\sin^2x$

Answer 2

Не претендую на лучший ответ. Но должен был отвечать гораздо раньше, если бы не товарищ, который дал ответ-спам.

Итак, есть уравнение

$cos^2x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}sin(x+\pi   )$

Естественно, его необходимо преобразовать. Так в правой части явно будет синус, то и левую нужно к нему подогнать. Пользуемся следствием основного тригонометрического тождества $cos^2x=1-sin^2x$

Правую часть надо преобразовать по формуле приведения.

Напомню, как вывести любую формулу приведения.

1. При необходимости отбрасываем лишние периоды у функций.

$sin(t+2\pi)=sint$ и т.д.

2. Смотрим на второе слагаемое в скобке. Если оно кратно числу $\pi$, то функция не меняется, если кратно $\frac{\pi}{2}$, то синус меняется на косинус, косинус на синус и т.д.

3. Представляем, что наш x находится в I координатной четверти на окружности, т.е. там где и синус, и косинус положительны.

Мысленно прибавляем туда второе слагаемое, которое не связано с переменной и смотрим, где мы оказались. Анализируем знак ИСХОДНОЙ функции. Если "-", то ставим "-", если "+", то оставляем все.

$sin(x+\pi )$

1. Лишних периодов нет

2. Кратно пи, функцию не меняем

3. Из I четверти попадаем в III, там синус отрицателен, знак "-" ставим

Итого $\boxed{sin(x+\pi )=-sinx}$

Осталось решить уравнение

$1-sin^2x+\frac{1}{2} =-\sqrt{2}sinx; -sin^2x+\sqrt{2}sinx+\frac{3}{2}=0; \\sin^2x-\sqrt{2}sinx-\frac{3}{2}=0$

Это квадратное уравнение относительно sinx, так и решим его относительно sinx

$D=(\sqrt{2})^2 -4\cdot1\cdot(-\frac{3}{2}) =2+6=8;$

$sinx=\frac{\sqrt{2}\pm2\sqrt{2}  }{2}; \left [ {{sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2} } \atop {sinx=\frac{3\sqrt{2}}{2} }} \right.$

Уравнения мы решаем на множестве действительных чисел, а здесь синус ограничен по модулю, а $\frac{3\sqrt{2} }{2} >1$, поэтому здесь решений нет, а вот в первом уравнении - пожалуйста:

$sinx=-\frac{\sqrt{2} }{2}; \left [ {{x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, k\in \mathbb{Z} } \atop {x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n, n \in \mathbb{Z}} \right.$

Это было решение к пункту а.

Теперь находим корни на $[\pi; 6\pi]$

Сделаем это аналитически (хотя на ЕГЭ лучше нарисовать окружность, чтобы эксперты точно не придрались).

Аналиризуем первую серию решений:

$\pi\leq \frac{5\pi}{4}+2\pi k \leq  6\pi; -\frac{\pi}{4}\leq  2\pi k \leq  \frac{19\pi}{4}; -\frac{1}{4}\leq   2k \leq \frac{19}{4}; -\frac{1}{8}\leq   k\leq 2\frac{3}{8}, k\in \mathbb{Z}$

То есть отсюда берем k=0, k=1 и k=2:

$x=\frac{5\pi}{4};x=\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{13\pi}{4}; x=\frac{5\pi}{4}+4\pi=\frac{21\pi}{4}$

Теперь анализируем вторую серию решений:

$\pi \leq \frac{7\pi}{4}+2\pi n\leq  6\pi ; -\frac{3\pi }{4} \leq 2\pi n\leq \frac{17\pi }{4}; -\frac{3}{8}\leq   n\leq \frac{17}{8}; -\frac{3}{8} \leq  n\leq 2\frac{1}{8}, n\in \mathbb{Z}$

Здесь берем n=0, n=1, n=2:

$x=\frac{7\pi }{4}; x =\frac{7\pi }{4}+2\pi  =\frac{15\pi }{4} ; x=\frac{7\pi }{4}+4\pi  =\frac{23\pi }{4}$

Теперь можно писать ответ.

Ответ: а) $\boxed{\frac{5\pi }{4}+2\pi k, \frac{7\pi }{4}+2\pi n,  k \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{Z} }$

б) $\boxed{\frac{5\pi }{4}, \frac{7\pi }{4}, \frac{13\pi }{4}, \frac{15\pi }{4}, \frac{21\pi }{4}, \frac{23\pi }{4}      }$