Question

В треугольнике ABC угол при вершине C равен 30 градусам. Найдите острый угол между внешними биссектрисами углов А и В.

Answer 1

Внешние биссектрисы ∠А и ∠В пересекают в точке О, которая является центром вневписанной окружности ⇒ СО - биссектриса ∠С. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис, I ∈ CO. Биссектрисы смежных углов образуют прямой угол ⇒ ∠IAO = ∠IBO = 90° ⇒ ∠AIB + ∠AOB = 180°, то есть острый угол между биссектрисами внешних углов А и В равен острому углу между биссектрисами внутренних углов А и В.

∠IAB + ∠IBA = (∠A + ∠B)/2 = (180° - ∠C)/2 = 90° - (∠C/2) - это и есть смежный острый  угол с ∠АIB, ∠АОВ = 90° - (∠С/2)

∠AOB = 90° - (∠C/2) = 90° - 15° = 75°

Ответ: 75°