Question

ПОМОГИТЕ С РАДИКАЛАМИ!

Answer 1

Ответ:

x = 0 или x = -19

Пошаговое объяснение:

Если $\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}=0$, то $27+x=x-8$, такое равенство никогда не выполняется. Домножаем обе части уравнения на ненулевое $\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}$:

$(\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x})(\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2})=7\times\\\times(\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x})$

В левой части стоит формула суммы кубов:

$(8-x)+(27+x)=7(\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x})\\35=7(\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x})\\\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}=5\\\sqrt[3]{27+x}=5-\sqrt[3]{8-x}$

Подставляем полученное в исходное уравнение, заодно сразу заменим $\sqrt[3]{8-x}=t$:

$t^2-t(5-t)+(5-t)^2=7\\3t^2-15t+25=7\\3t^2-15t+18=0\\t^2-5t+6=0$

Квадратное уравнение имеет два корня t = 2 и t = 3. Возвращаясь обратно к иксам и решая полученное уравнение, находим, что

$x=8-t^3\in\{0,-19\}$