Question

Челлендж для смелых


Пусть $Q=[0,1]^2$ и $f \in {\bf C}(Q)$.


Вычислить предел

$\lim\limits_{n\to \infty}( \frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^{2}\int\limits_Q (x_1x_2(1-x_1)(1-x_2))^{n}f(x_1,x_2)dx_1dx_2$

Answer 1

Ответ:

$f(\frac12,\frac12)$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\right)^2\iint_Qdx_1\,dx_2\,(x_1(1-x_1))^n(x_2(1-x_2))^n=\\=\left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 dx\, (x(1-x))^n\right)^2=:\left(\int_0^1 u_n(x)\,dx\right)^2$

Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:

$\displaystyle \int_0^1 dx\, x^n(1-x)^n=-\frac1{n+1}\left.x^n(1-x)^{n+1}\right|_0^1+\frac n{n+1}\int_0^1dx\, x^{n-1}(1-x)^{n+1}=\\=\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}\int_0^1dx\,x^{n-2}(1-x)^{n+2}=\dots=\\=\frac{n!}{(n+1)(n+2)\cdots2n}\int_0^1 dx\,(1-x)^{2n}=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$

Тогда

$\displaystyle\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2) f(x_1,x_2)=f\left(\frac12,\frac12\right)+\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2)\times\\\times\left(f(x_1,x_2)-f\left(\frac12,\frac12\right)\right)$

Значение интеграла стремится к нулю: функции $u_n(x)$ быстро уменьшаются при отдалении от $x=1/2$, а вблизи точки $A=(1/2,1/2)$ разность значений функций мала ввиду непрерывности f.

Более формально:  

1. Функция f непрерывна, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдётся такая $\delta>0$, что для всех $(x_1,x_2)$ из $U=[1/2-\delta,1/2+\delta]^2$ выполнено неравенство $|f(x_1,x_2)-f(A)|<\varepsilon/2$

2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого $|f(x_1,x_2)-f(A)|<M$ при всех $(x_1,x_2)\in Q$.

3. Очевидно, максимум функции $u_n(x)$ на множестве $[0,1]\backslash[1/2-\delta,1/2+\delta]$ достигается в точках $1/2\pm\delta$. Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше $\sqrt{\varepsilon/2M}$).

Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:

$(2n+1)\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\dfrac{(2n+1)4^n}{\sqrt{\pi n}}$

Тогда максимум при больших n будет «примерно»

$\dfrac{(2n+1)4^n}{\sqrt{\pi n}}\cdot\left(\dfrac14-\delta^2\right)^n\sim2\sqrt{\dfrac{n}{\pi}}(1-4\delta^2)^n\to 0$

Собираем вместе: для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое N, что при всех n > N

$\displaystyle\left|\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2)\times\left(f(x_1,x_2)-f\left(M\right)\right)\right|=\left|\displaystyle\iint_U+\iint_{Q\backslash U}\dots\right|<\\<\left|\iint_U\right|+\left|\iint_{Q\backslash U}\right|\leqslant\dfrac\varepsilon2\iint_Q u_n(x_1)u_n(x_2)\,dx_1\,dx_2+M\cdot\left(\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{2M}}\right)^2\times\\\times\iint_Qdx_1\,dx_2=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$