Question

Помогите решить 3 ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Задачки с параболами вечно не очень приятные

Я заменю буковку k буквой a (она вообще чаще используется в задачах с параметром, но это не так важно, можно переписать решение, заменяя k на a), мне так удобнее просто

Итак, есть $y_1=(2a-1)x^2+(7a+2)x-3a$

и $y_2=(a+3)x^2+5(a+1)x-4(a+1)$

Нужно, чтобы ∀x y₁>y₂

Первым делом рассмотрим особые случаи, когда один из графиков не является параболой

1. $2a-1=0; a=\frac{1}{2}; y_1=\frac{11}{2}x-\frac{3}{2};y_2=\frac{7}{2}x^2+\frac{15}{2}x-6;$. Известно, что парабола с положительным коэффициентом при x² на бесконечности возрастает быстрее, чем прямая, поэтому точно найдется такая точка, что y₁=y₂. Это значение а не подходит.

2. $a+3=0; a=-3; y_1=-7x^2-19x+9; y_2=-10x+8;$ Здесь ситуация аналогичная, только оба графика стремятся вниз, так что это значение а не подходит.

Сначала нам надо выяснить те значения, при которых нет точек пересечения двух графиков. Просто приравняем значения функций и решим это квадратное уравнение.

$(2a-1)x^2+(xa+2)x-3a=(a+3)x^2+5(a+1)-4(a+1);\\ (2a-1-a-3)x^2+(7a+2-5a-5)x-3a+4a+4=0;\\ (a-4)x^2+(2a-3)x+a+4=0$

Рассмотрим отдельно ситуацию a=4:

5x+8=0; x=-1.6, то есть решение есть, значит, а=4 не подходит.

Что нам нужно, чтобы квадратное уравнение не имело решений: слева у нас уравнение квадратичной функции. Если дискриминант полученного выражения меньше нуля, то график не будет пересекаться с осью OX, т.е. решений у уравнения не будет, что в данный момент нам и нужно.

$D=(2a-3)^2-4(a-4)(a+4)=4a^2-12a+9-4(a^2-16)=\\ -12a+73; D<0: -12a+73<0; -12a<-73; a>\frac{73}{12}$

А по факту переформулируем задание на аналогичное: нужно найти те значения а, при которых график $(a-4)x^2+(2a-3)x+a+4>0$ для любых х. То есть парабола целиком лежит выше оси ОХ. Мы нашли те значения, при которых парабола не пересекает ось ОХ. Но этого недостаточно: если парабола направлена вниз, то все значения функции меньше 0 и такая ситуация нам не подходит. Поэтому нужно, чтобы эта парабола была направлена вверх. То есть, $a-4>0; a>4$

Собрав все эти ограничения, мы получаем, что $a>\frac{73}{12}$.

P.S. вроде как первые особые случаи рассматривать не надо, оно все будет работать и так, но часто учителя любят, чтобы все это рассматривалось, чтобы точно обеспечить правильный ответ.

Ответ: $a$∈$(\frac{73}{12};+oo)$