Question

Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол при вершине равен а. Найдите площадь круга, описанного возле данного треугольника.

Answer 1

Пусть равные боковые стороны данного равнобедренного треугольника равны "а", основание "b"

Площадь треугольника равна:

1.

$s = \frac{1}{2} ab \sin( \alpha ) = \frac{1}{2} \times a \times a \times \sin( \alpha ) = \frac{1}{2} {a}^{2} \sin( \alpha ) \\ {a}^{2} = \frac{2s}{ \sin( \alpha ) } \\ a = \sqrt{ \frac{2s}{ \sin( \alpha ) } }$

2. По теореме косинусов находим основание "b":

${b}^{2} = {a}^{2} + {a}^{2} - 2 \times a \times a \times \cos( \alpha ) \\ {b}^{2} = 2 {a}^{2} - 2 {a}^{2} \times \cos( \alpha ) = \frac{4s}{ \sin( \alpha ) } - \frac{4s}{ \sin( \alpha ) } \times \cos( \alpha ) \\ b = \sqrt{ \frac{4s}{ \sin( \alpha ) }(1 - \cos( \alpha ) ) }$

3. По теореме синусов, находим радуиус описанной окружности:

$r = \frac{b}{2 \sin( \alpha ) } = \frac{1}{2 \sin( \alpha ) } \sqrt{ \frac{4s}{ \sin( \alpha ) } (1 - \cos( \alpha )) } = \frac{1}{ \sin( \alpha ) } \sqrt{ \frac{s}{ \sin( \alpha ) }(1 - \cos( \alpha ) )}$

4. Площадь круга

$s \: \: (kryga) = \pi {r}^{2} = \pi \times \frac{1}{ { (\sin( \alpha ) )}^{2} } \times \frac{s}{ \sin( \alpha ) } \times (1 - \cos( \alpha ) ) \\ s \: \: (kryga) = \frac{\pi \: s(1 - \cos( \alpha ) )}{ ({ \sin( \alpha ) )}^{3} }$