Question

Существуют ли числа a и b, такие, что a*cos(x)-b*cos(2x)>1? X-любое.

Answer 1

$acosx-bcos2x>1,\\acosx-b(2cos^2x-1)-1>0,\\\boxed{t:=cosx \Leftrightarrow t \in [-1;1]}\\at-b(2t^2-1)-1>0,\\2bt^2-at-b+1<0.$

Переформулируем задачу:

Существуют ли числа a и b, такие, что 2bt² - at - b + 1 < 0 при любом t ∈ [-1; 1]?

$\boxed{f(t):=2bt^2-at-b+1}$

0 ∈ [-1; 1] ⇒ f(0) = 2b·0² - a·0 - b + 1 = 1 - b < 0 ⇔ b > 1.

Тогда при b > 1, график y = f(t) - парабола с ветвями вверх. Значит, решение неравенства f(t) < 0 имеет вид: (t₁; t₂), где t₁, t₂ - корни f(t).

По условию задачи должно выполняться: [-1; 1] ⊂ (t₁; t₂). То есть меньший корень должен быть меньше -1, а больший - больше 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы

$\left \{ {{f(-1)<0,} \atop {f(1)<0;}} \right. \Leftrightarrow\left \{ {{2b+a-b+1<0,} \atop {2b-a-b+1<0;}} \right. \Leftrightarrow\left \{ {{b+1<-a,} \atop {b+1<a;}} \right \Rightarrow\left 2b+2<a-a\Leftrightarrow b <- 1.$

Но, как выяснилось ранее, b > 1 - противоречие.

Ответ: нет.