Question

Помогите пожалуйста с ответом: доказать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе: а=(11,1,2), b=(-3,3,4), с=(-4,-2,7), d=(-5,11,-15). Спасибо)

Answer 1

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов

$\displaystyle\left|\begin{array}{ccc}11&1&2\\ -3&3&4\\-4&-2&7\end{array}\right|= 11\cdot 3\cdot 7+1\cdot 4\cdot(-4)+(-3)\cdot (-2)\cdot 2-\\ \\ \\ -(2\cdot 3\cdot (-4)+(-2)\cdot 4\cdot 11+ 7\cdot 1\cdot (-3))= 360\ne 0$

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства $\mathbb{R}^3$

Соотношение, записанное для векторов $d=\alpha a+\beta b+\gamma c$, справедливо для каждой из проекций:

$\begin{cases}&\text{}\alpha\cdot 11+\beta \cdot 1+\gamma\cdot 2=-5\\&\text{}\alpha \cdot (-3)+\beta \cdot 3+\gamma \cdot 4=11\\&\text{}\alpha\cdot(-4)+\beta\cdot(-2)+\gamma\cdot 7=-15\end{cases}~~\Rightarrow~~\begin{cases}&\text{}\alpha =-\dfrac{59}{90}\\&\text{}\beta=\dfrac{83}{18}\\&\text{}\gamma=-\dfrac{6}{5}\end{cases}$

вектор d имеет разложение в базисе a, b, c:

$\vec{d}=-\dfrac{59}{90}\vec{a}+\dfrac{83}{18}\vec{b}-\dfrac{6}{5}\vec{c}$