Question

Докажите, что при любом натуральном n число 3^3n+2+5*2^3n+1 кратно 19.

Answer 1

Пусть n = 1, тогда:

$3^{3+2} +5*2^{3+1} = 3^5 + 5 * 2^4 = 243 + 90 = 323 = 19 * 17$

Так как при некотором n это число действительно кратно 19, то пусть некоторое n = k, при котором это число кратно, тогда исследуем это число при n = k+1, получим:

$3^{3(k+1)+2}+5*2^{3(k+1)+1} = 3^{3k+5} + 5 * 2^{3k+4} = 3^{3k+2}*3^3 + 5*2^{3k+1}*2^3 = 27 * 3^{3k+2} + 40*2^{3k+1} = 8(3^{3k+2}+5*2^{3k+1}) + 19 * 3^{3k+2}$

Первое слагаемое делится на 19, так как мы предположили, что при n = k это выражение делится на 19, а второе слагаемое делится на 19 согласно основной теоремы арифметики.

Answer 2

3³ⁿ⁺² + 5×2³ⁿ⁺¹ = 9×27ⁿ + 10×8ⁿ ≡ 9×8ⁿ + 10×8ⁿ = 19×8ⁿ ≡ 0×8ⁿ = 0 (mod 19). ⇒ ∀n ∈ ℕ: 3³ⁿ⁺² + 5×2³ⁿ⁺¹ кратно 19.

Q.E.D.