Question

98 баллов! Заранее спасибо!
а). Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя.
б). Перемножили три тысячи двоек. Докажите, что в записи получившегося числа:
не более 1000 цифр и не менее 900 цифр.

Answer 1

а)Пусть $\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=100$, при этом $\prod\limits_{i=1}^{n}a_{i}=P\leq \frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i})^{n}}{n^{n}}=\frac{100^n}{n}$; Пусть $f(x)=\frac{100^x}{x^x}$, тогда $f'(x)=2\ln(10)100^x-100^x-100^x\ln(x)$; Экстремум находится в точке $x=\frac{100}{e}$; $\frac{100}{e}\approx36,8$; Поэтому при $n=37$ достигается максимум, т.е. 100 должно быть представлено в виде 37-ми слагаемых. А, значит, каждое из слагаемых либо 3, либо 2. Значит, искомое произведение есть число вида $3^m\times 2^n,\; 3m+2n\leq 100$. $p=3^m\times 2^\frac{100-3m}{2}=2^{50}\times (\frac{3}{2\sqrt{2}})^{m}$, поэтому чем больше m, тем лучше (возраст. функция). Стало быть, m=32, а искомый набор: $\{2, 2,\;3,...,\;3\}$ - 32 тройки и две двойки.

б) Нужно доказать неравенства: $10^{899}\leq 2^{3000}\leq 10^{999}$

Покажем справедливость первого:  $2^{3000}>10^{900} \Leftrightarrow 2^{10}>10^{3}\; \checkmark$

Теперь второго: $2^{3000}<10^{999} \Leftrightarrow 2^{1000}<10^{333} \Leftrightarrow 2^{667}<5^{333} \Leftrightarrow 2^{334}<2,5^{333} \;\checkmark$