Question

Задана система неравенств $\left \{ {\bigg{5-5x\ \textgreater \ 11, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop \bigg{\dfrac{(2a-1)(3x+5)}{(a-1)(4a+5)}\ \textgreater \ 1, }} \right.$ где $x$ – переменная, $a$ – постоянная.
1. Решите первое неравенство этой системы.
2. Определите множество решений второго неравенства в зависимости от значений $a$.
3. Определите все решения системы в зависимости от значений $a$.

Answer 1

1. Решим первое неравенство этой системы:

$5 - 5x > 11$

$-5x > 11 - 5$

$-5x > 6$

$x < -\dfrac{6}{5}$

Ответ: $x \in \bigg(-\infty; -\dfrac{6}{5} \bigg)$

2. Дробь $\dfrac{(2a-1)(3x+5)}{(a-1)(4a+5)}$ существует, если

$(a-1)(4a+5) \neq 0\\ \\\left[\begin{array}{ccc}a-1\neq0 \ \\4a+5\neq0 \\ \end{array}\right \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}a\neq1 \ \ \ \\ a\neq -\dfrac{5}{4} \\ \end{array}\right$

Перед тем как выражать $x$, нужно рассмотреть случаи, когда дробь $\dfrac{(2a-1)}{(a-1)(4a+5)}$ положительная, а когда отрицательная:

• Если такая дробь положительная, то при нахождении переменной $x$ знак неравенства меняться не будет (так как делим (умножаем) на положительное число):

$\dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)} > 0$

Решим неравенство методом интервалов.

а) ОДЗ: $a\neq 1; \ a\neq -\dfrac{5}{4}$

б) Нуль неравенства: $2a-1 \neq 0; \ a \neq \dfrac{1}{2}$

в) Решением данного неравенства будет $a \in \bigg(-\dfrac{5}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg) \cup (1; +\infty )$.

При таких значениях параметра $a$ знак неравенства меняться не будет:

$\dfrac{(2a-1)(3x+5)}{(a-1)(4a+5)} > 1 \ \ \ \ \bigg| : \dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)}$

$3x+5 > \dfrac{(a-1)(4a+5)}{2a-1}$

$3x > \dfrac{(a-1)(4a+5)}{2a-1} - 5$

$3x > \dfrac{4a^{2} + 5a - 4a - 5 - 5(2a-1)}{2a-1}$

$3x > \dfrac{4a^{2} + a - 5 - 10a + 4}{2a - 1}$

$3x > \dfrac{4a^{2} - 9a}{2a-1} \ \ \ \ \ \ | : 3$

$x > \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}$

• Если такая дробь отрицательная, то при нахождении переменной $x$ знак неравенства измениться на противоположный (так как делим (умножаем) на отрицательное число):

$\dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Решением данного неравенства будет $a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{5}{4}; \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)$.

При таких значениях параметра $a$ знак неравенства изменится:

$\dfrac{(2a-1)(3x+5)}{(a-1)(4a+5)} > 1 \ \ \ \ \bigg| : \dfrac{2a-1}{(a-1)(4a+5)}$

$3x+5 < \dfrac{(a-1)(4a+5)}{2a-1}$

$x < \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}$

Ответ: если $a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{5}{4}; \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)$, то $x \in \bigg (-\infty; \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)} \bigg)$; если $a \in \bigg(-\dfrac{5}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg) \cup (1; +\infty )$, то $x \in \bigg (\dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}; + \infty \bigg)$; если $a = -\dfrac{5}{4}$ и $a = 1$, то неравенство не имеет решений.

3. Данная система неравенств решается в зависимости от значений параметра $a$, поэтому:

1) Рассмотрим случай, когда решение неравенств пересекается:

• Если $\dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)} < -\dfrac{6}{5}$, то есть $a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{3}{4} \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2}; \dfrac{6}{5}\bigg)$, то в объединении с $a \in \bigg(-\dfrac{5}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg) \cup (1; +\infty )$ получаем $a \in \bigg(-\dfrac{5}{4}; - \dfrac{3}{4}\bigg) \cup \bigg(1; \dfrac{6}{5} \bigg)$
• $x < \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}$ при $a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{5}{4}; \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)$
• Если $\dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)} > -\dfrac{6}{5}$, то есть $a \in \bigg(-\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg)\cup \bigg(\dfrac{6}{5}; + \infty \bigg)$, то в объединении с $a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{5}{4}; \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)$ получаем, что таких $a$ не существует, то есть такого варианта эта система не имеет.

2) Рассмотрим случай, когда решение неравенств не пересекается (когда система не имеет решений):

• Оставшийся промежуток является решением этого варианта: $a \in \bigg[-\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg]\cup \bigg[\dfrac{6}{5}; + \infty \bigg) \cup \begin{Bmatrix} -\dfrac{5}{4}; 1 \end{Bmatrix}$

Ответ: если $a \in \bigg(-\infty; -\dfrac{5}{4}; \bigg) \cup \bigg(\dfrac{1}{2} ; 1 \bigg)$, то $x \in \bigg (-\infty; \dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)} \bigg)$; если $a \in \bigg(-\dfrac{5}{4}; - \dfrac{3}{4}\bigg) \cup \bigg(1; \dfrac{6}{5} \bigg)$, то $x \in \bigg (\dfrac{a(4a-9)}{3(2a - 1)}; -\dfrac{6}{5} \bigg)$; если $a \in \bigg[-\dfrac{3}{4}; \dfrac{1}{2} \bigg]\cup \bigg[\dfrac{6}{5}; + \infty \bigg) \cup \begin{Bmatrix} -\dfrac{5}{4}; 1 \end{Bmatrix}$, то система не имеет решений.