Question

Помогите, пожалуйста. решить уравнение, введя новые независимые переменные u, v, где x>0, u=y - x^2, v=y + x^2. (нижними индексами я обозначил частные производные). В чём ошибка?

$z_{xx} - 4x^{2}z_{yy}=\frac{1}{x}z_{x}$

Answer 1

Ответ: z=f₁(y+x²)+f₂(y-x²), где f₁ и f₂ - произвольные функции.

Пошаговое объяснение:

Будем решать уравнение методом характеристик. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид dy²-4*x²*dx²=(dy+2*x*dx)*(dy-2*x*dx)=0. Отсюда либо dy+2*x*dx=0, либо dy-2*x*dx=0. Интегрируя первое уравнение, получаем y+x²=u, интегрируя второе уравнение, получаем y-x²=v. Теперь в исходном уравнении нужно перейти от переменных x и y к переменным u и v.

(Далее, за неимением возможности писать выражения для частных производных через "круглые" d,  пишу эти выражения через "прямые" d).  

dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dv*dv/dx=2*x*dz/du-2*x*dz/dv;           (1)

d²z/dx²=2*dz/du+2*x*d²z/du²+2*x*d²z/dudv*dv/dx-2*dv/dz-2*x*d²z/dvdu*du/dx-2*d²z/dv²*dv/dx=2*dz/du-2*dz/dv+4*x²*d²z/du²+4*x²*d²z/dv²-8*x²*d²z/dudv;                   (2)

dz/dy=dz/du*du/dy+dz/dv*dv/dy=dz/du+dz/dv;

d²z/dy²=d²u/dz²*du/dy+d²z/dydv*dv/dy+d²z/dvdu*du/dy+d²z/dv²*dv/dy=d²z/du²+2*d²z/dudv+d²z/dv²                                                            (3)

Подставляя теперь найденные (выделенные жирным цветом) выражения для dz/dx, d²z/dx² и d²z/dy² в исходное уравнение и сокращая подобные члены, приходим к уравнению -16*x²*d²z/dudv=0, или d²z/dudv=0. Интегрируя его по v, находим dz/du=f(u). Интегрируя теперь по u, находим z=∫f(u)*du+f₂(v)=f₁(u)+f₂(v). Возвращаясь теперь к переменным x и y, получаем z=f₁(y+x²)+f₂(y-x²), где f₁ и f₂ - произвольные функции.