Question

Даны уравнения параболы и прямой .вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры ,ограниченной данными линиями; сделать чертеж и заштриховать искомую площадь

Answer 1

$S=\int\limits^8_{-1} (x+4-\frac{1}{3}(x-2)^2) } \, dx =(\frac{x^2}{2}+4x-\frac{1}{3} *\frac{(x-2)^3}{3})\ |^8_{-1}=\\ \\ =32+32-24-(\frac{1}{2}-4+3)=32+32-24-0.5+4-3=40.5$

Answer 2

$y=\frac{1}{3}(x-2)^2\; \; ,\; \; y=x+4\\\\Tochki\; peresecheniya :\; \; \frac{1}{3}(x-2)^2=x+4\; ,\\\\\frac{1}{3}(x^2-4x+4)=x+4\; \; ,\; \; x^2-4x+4=3x+12\; ,\; \; x^2-7x-8=0\; ,\\\\x_1=-1\; ,\; \; x_2=8\; \; (teorema\; Vieta)\\\\S=\int\limits^8_{-1}\, \Big (x+4-\frac{1}{3}(x-2)^2\Big )\, dx=\Big (\frac{x^2}{2}+4x-\frac{1}{3}\cdot \frac{(x-2)^3}{3}\Big )\Big |_{-1}^8=\\\\=\frac{64}{2}+4\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot \frac{6^3}{3}-\Big (\frac{1}{2}-4-\frac{1}{3}\cdot \frac{-27}{3}\Big )=\\\\=32+32-24-\frac{1}{2}+4-3=41-\frac{1}{2}=40,5$