Question

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AC и высотой AB диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу . Известно отношение оснований BC : AD = m : n . Найдите отношение длин диагоналей AC : BD .

Answer 1

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями BC и AD и высотой AB диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу . Известно отношение оснований BC : AD = m : n . Найдите отношение длин диагоналей AC : BD.

Решение:

Пусть BC = mx и AD = nx. Из вершины С проведём прямую параллельной диагонали BD до пересечения прямой на продолжении основания AD, AC ⊥ CE.

$AE=AD+DE=nx+mx=x(n+m)\\ FE=AD=nx\\ AF=BC=mx$

Из вершины угла С проведем высоту CF.

Из прямоугольного треугольника ACE, каждый катет есть среднее пропорциональное между проекцией катета и гипотенузой:

$AC=\sqrt{AF\cdot AE}=\sqrt{mx\cdot x(n+m)}=x\sqrt{m(n+m)}\\ CE=BD=\sqrt{FE\cdot AE}=\sqrt{nx\cdot x(n+m)}=x\sqrt{n(n+m)}$

Следовательно, $\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{x\sqrt{m(n+m)}}{x\sqrt{n(n+m)}}=\sqrt{\dfrac{m}{n}}$

Answer 2

Дано : ABCD - трапеция, BC║AD, AB⊥BC, AC⊥BD, $\dfrac {BC}{AD}=\dfrac mn$

Найти   AC : BD - ?

ΔBOC ~ ΔAOD   по двум равным углам :

∠BOC = ∠AOD = 90°   по условию

∠BCO = ∠DAO  -  накрест лежащие углы при BC║AD и секущей AC

⇒   $\dfrac{CO}{AO}=\dfrac{BO}{DO}=\dfrac {BC}{AD}=\dfrac mn$

Пусть CO = mx,  AO = nx,  BO = my,  DO = ny

ΔABC - прямоугольный,  BO⊥AC   по условию

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

$BO^2=AO\cdot CO~~\Rightarrow~~(my)^2=nx\cdot mx~~\Rightarrow~~m^2y^2=nmx^2\\\\\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{m^2}{nm}=\dfrac mn~~~\Rightarrow~~~\boldsymbol{\dfrac xy=\sqrt{\dfrac mn}}$

$\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{AO+CO}{DO+BO}=\dfrac{nx+mx}{ny+my}=\dfrac{x(n+m)}{y(n+m)}=\dfrac xy=\sqrt{\dfrac mn}\\\\\boxed{\boldsymbol{\dfrac{AC}{BD}=\sqrt{\dfrac mn}}}$