Question

проверьте пожалуйста правильность решения lim->0(1/x+1)^1/2x=1/lim->0(1+1/x)^1/x×x×1/2x=1/√е

Answer 1

Здесь неопределенность $1^{\infty}$, следовательно, нужно применить второй замечательный предел $\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=e$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{\frac{1}{2x}}=\lim_{x \to 0}\left(1-\frac{x}{x+1}\right)^{\frac{1}{2x}\cdot (-\frac{x}{x+1})\cdot (-\frac{x+1}{x})}=\\ \\ \\ =e^{\lim_{x \to 0}(-\frac{x}{2x(x+1)})}=e^{-\lim_{x \to 0}\frac{1}{2(x+1)}}=e^{-\infty}=0$