Question

Помогите пожалуйста решить предел
lim стремится к 0 (1+tg^2(√x))в степени 1/2x

Answer 1

Если подставить x = 0 то неопределенность $\left\{1^{\infty}\right\}$, следовательно, применим второй замечательный предел.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1+{\rm tg}^2\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{2x}}=\lim_{x \to 0}\left(1+{\rm tg}^2\sqrt{x}\, \right)^{\frac{1}{2x}\cdot {\rm tg}^2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{{\rm tg}^2\sqrt{x}}}=\\ \\ \\ =e^{\lim_{x \to 0}\frac{{\rm tg}^2\sqrt{x}}{2x}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{x})^2}{2x}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{x}{2x}}=e^{\frac{1}{2}}$