Question

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $64x^{6} + 4x^{2} = (3x + a)x^{3} + 3x + a$ не имеет корней.

Помогите пожалуйста

Answer 1

$64 {x}^{6} + 4 {x}^{2} = (3x + a) ^{3} + 3x + a$

рассмотрим функцию:

$f(t) = {t}^{3} + t$

исследуем ее на монотонность:

$f'(t) = 3 {t}^{2} + 1 > 0$

функция f(t) возрастает на всей числовой оси, значит используем свойство:

f(a) = f(b) <=> a=b

$f(4x ^{2} ) = {(4 {x}^{2}) }^{3} + 4 {x}^{2} = 64 {x}^{6} + 4 {x}^{2}$

что соответсвует левой части исходного уравнения

$f(3x + a) = {(3x + a)}^{3} + 3x + a$

$f(4 {x}^{2} ) = f(3x + a) \\ 4 {x}^{2} = 3x + a \\ 4 {x}^{2} - 3x - a = 0$

по условию нужно найти а, при которых корней нет.

чтобы квадратное уравнение не имело корней, нужно чтобы дискриминант был меньше нуля

$D = 9 + 16a < 0 \\ 16a < - 9 \\ a < - \frac{9}{16}$

$OTBET: a \in ( - \infty ; - \frac{9}{16} )$