Question

Вычислить сумму:
$1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} }$
​

Answer 1

Обозначим сумму через S, тогда умножая равенство на (-2), мы

получим:

$-2S=-2-2-\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2^2}-...-\dfrac{n}{2^n}$

Сложим почленно S и -2S, мы получим

$S-2S=-2+1+\dfrac{2}{2}-2+\dfrac{3}{2^2}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2^3}-\dfrac{4}{2^2}+...+\dfrac{n}{2^{n-1}}-\dfrac{n}{2^n}\\ \\ -S=-3-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{2^3}-...+\dfrac{n}{2^{n-1}}~~~\bigg|\cdot (-1)\\ \\ S-3=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+...-\dfrac{n}{2^{n-1}}$

$S-3=\dfrac{\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{1}{2^{n-2}}\bigg)}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{n}{2^{n-1}}~~\Rightarrow~~~ S=4-\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{n}{2^{n-1}}$