Question

Логарифмы. Решить неравество. Пожалуйста подробнее. Пример в приложении

Answer 1

$2log_8(x-2)-log_8(x-3)>\frac{2}{3}\; \; ODZ\, :\; \left \{ {{x>2} \atop {x>3}} \right.\; \; \Rightarrow \; \; \underline {x>3}\\\\log_8(x-2)^2-log_8(x-3)>\frac{2}{3}\\\\log_8\frac{(x-2)^2}{x-3}>log_88^{\frac{2}{3}}\; \; ,\; \; 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^2=4\\\\\frac{(x-2)^2}{x-3}>4\; \; ,\; \; \frac{x^2-4x+4-4(x-3)}{x-3}>0\; \; ,\; \; \frac{x^2-8x+16}{x-3}>0\; \; ,\; \; \frac{(x-4)^2}{x-3}>0\; ,\\\\znaki\, :\; \; \; ---(3)+++(4)+++\\\\x\in (3,4)\cup (4,+\infty )$

$\left \{ {{x>3\qquad \qquad } \atop {x\in (3,4)\cup (4,+\infty )}} \right. \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \underline {x\in (3,4)\cup (4,+\infty )}$

Answer 2

Ответ:

$x > 3$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:

$x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ \\ x > 2 \\ x > 3 \\ \\ x > 3$

Внесём 2 в степень:

$log_{8}({(x - 2)}^{2} ) - log_{8}(x - 3) > \frac{2}{3}$

По свойству степени:

$log_{8}( \frac{ {(x - 2)}^{2} }{x - 3} ) > \frac{2}{3}$

Возведём 8 в эти степени

А т.к. 8>1, то знак неравенства не поменяется:

${8}^{ log_{8}( \frac{ {(x - 2)}^{2} }{x - 3} ) } > {8}^{ \frac{2}{3} }$

По определению логарифма:

$\frac{ {(x - 2)}^{2} }{x - 3} > \sqrt[3]{ {8}^{2} }$

$\frac{ {(x - 2)}^{2} }{x - 3} - 4 > 0$

Внесём в дробь -4:

$\frac{ {(x - 2)}^{2} - 4x + 12}{x - 3} > 0 \\ \frac{{x}^{2} - 4x + 4 - 4x + 12 }{x - 3} > 0 \\ \frac{ {x}^{2} - 8x + 16}{x - 3} > 0 \\ \frac{ {(x - 4)}^{2} }{x - 3} > 0$

Числитель всегда больше либо равен нуля значит надо потребовать чтобы знаменатель был больше нуля

И числитель должен быть не равен нулю:

x≠4

$x - 3 > 0$

$x > 3$

С учётом ОДЗ, А ОНО У НАС:

x>3

ОТВЕТ :

x€(3;4)U(4;+бесконечности)

Я старался! :)