Question

$\sqrt[3]{(2 - x {)}^{2}} + \sqrt[3]{(7 + x {)}^{2} } - \sqrt[3]{(7 + x)(2 - x)} = 3$
Решите пожалуйста. Сам пока что думаю, но ничего не могу придумать

Answer 1

$\sqrt[3]{ {(2 - x)}^{2} } + \sqrt[3]{ {(7 + x)}^{2} } - \sqrt[3]{(7 + x)(2 - x)} = 3$

$\sqrt[3]{ {y}^{2} } = ( { \sqrt[3]{y} } \: )^{2}$

Стандартное уравнение. Для упрощения можно сделать замену.

$\sqrt[3]{2 - x} = a \\ \\ \sqrt[3]{7 + x} = b$

${a}^{2} + {b}^{2} - ab = 3 \\ {a}^{2} - ab + {b}^{2} = 3$

Заметим, что

${a}^{3} + {b}^{3} = (a + b)( { a}^{2} - ab + {b}^{2} ) \\ \\ { a}^{2} - ab + {b}^{2} = \frac{ {a}^{3} + {b}^{3} }{a + b}$

Формула сокращённого умножения --- сумма кубов

$\frac{ {a}^{3} + {b}^{3} }{a + b} = 3$

Или можно было домножить обе части на (а + b), при этом заметив формулу.

${a}^{3} + {b}^{3} = 3(a + b) \\ \\ {( \sqrt[3]{(2 - x)} )}^{3} + {( \sqrt[3]{(7 + x)} )}^{3} = 3( \sqrt[3]{2 - x} + \sqrt[3]{7 + x} ) \\ \\ 2 - x + 7 + x = 3( \sqrt[3]{2 - x} + \sqrt[3]{7 + x} ) \\ \\ 9 = 3 \times ( \sqrt[3]{2 - x} + \sqrt[3]{7 + x} ) \\ \\ \sqrt[3]{2 - x} + \sqrt[3]{7 + x} = 3$

Получаем, что

$a + b = 3 \\ \\ {a}^{3} + {b}^{3} = 9$

На этом этапе можно возвести обе части в куб, применим формулу куба суммы:

${( \: \sqrt[3]{2 - x} + \sqrt[3]{7 + x}\: )}^{3} = {3}^{3} \\ \\ {(a + b)}^{3} = {a}^{3} + 3{a}^{2} b + 3a {b}^{2} + {b}^{3} \\ = ( {a}^{3} + {b}^{3} ) + 3ab(a + b) \\ \\ {3}^{3} = 9 + 3ab \times 3 \\ \\ 27 = 9 + 9ab \\ \\ 18 = 9ab \\ \\ ab = 2 \\ \\ \sqrt[3]{(2 - x)(7 + x)} = 2 \\ \\ (2 - x)(7 + x) = {2}^{3} \\ \\ - {x}^{2} - 5x + 14 = 8 \\ \\ {x}^{2} + 5x - 6 = 0$

По теореме, обратной т. Виета, находим корни:

Первый корень --- - 6

Второй корень --- 1

Проверкой убеждаемся, что оба корня подходят.

ОТВЕТ: - 6 ; 1

Answer 2

Представим левую часть уравнения в виде:

$\dfrac{(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x})(\sqrt[3]{(2-x)^2}+\sqrt[3]{(7+x)^3}-\sqrt[3]{(7+x)(2-x)})}{\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x}}=3$

В числителе замечаем формулу суммы кубов

$\dfrac{(\sqrt[3]{2-x})^3+(\sqrt[3]{7+x})^3}{\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x}}=3~~\Rightarrow~~ 2-x+7+x=3(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x})\\ \\ \sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{7+x}=3$

Пусть теперь $\sqrt[3]{7+x}=a;~~\sqrt[3]{2-x}=b$, тогда, возведя до куба обе части равенства, мы имеем $7+x=a^3;~ 2-x=b^3$, получим

$b+a-3=0~~~\Rightarrow~~~ a=3-b$ также $x=2-b^3$, подставляем в уравнение $7+x=a^3$

$7+2-b^3=(3-b)^3\\ \\ 9-b^3=(3-b)^3\\ \\ 9=(3-b)^3+b^3\\ \\ 9=(3-b+b)((3-b)^2-b(3-b)+b^2)\\ \\ 9=3(9-6b+b^2-3b+b^2+b^2)\\ \\ 3=3b^2-9b+9~~|:3\\ \\ 1=b^2-3b+3\\ \\ b^2-3b+2=0$

По теореме Виета

$b_1=1;~~~\Rightarrow~~~ x_1=2-1^3=1\\ \\ b_2=2~~~~\Rightarrow~~~ x_2=2-2^3=-6$

Ответ: -6; 1.