Question

Ребят, очень нужна помощь!!!!!! Даю почти 25 балов

Answer 1

Вычислить площадь астроиды.

$\left \{ {{x=a\, sin^3t} \atop {y=a\, cos^3t}} \right. \; \; ,\; \; \; 0\leq t\leq 2\pi \\\\S=\int\limits^a_b\, y(t)\cdot x'(t)\, dt=4\int\limits^{\pi /2}_0\, a\, cos^3t\cdot (a\, sin^3t)'\, dt=\\\\=4a^2\int\limits^{\pi /2}_0cos^3t\cdot 3sin^2t\cdot cost\cdot \, dt=12a^2\int\limits^{\pi /2}_0\, cos^4t\cdot sin^2t\, dt=\\\\=12a^2\int\limits^{\pi /2}_0\, (\frac{1+cos2t}{2})^2\cdot \frac{1-cos2t}{2}\, dt=12a^2\int \limits _0^{\pi /2}\frac{1+cos2t}{2}\cdot \frac{1-cos^22t}{4}\, dt=\\\\=\frac{12a^2}{8}\int\limits^{\pi /2}_0\, (1-cos^22t+cos2t-cos^32t)\, dt=\\\\=\frac{3a^2}{2} \int\limits^{\pi /2}_0\, (1-\frac{1+cos4t}{2}+cos2t-cos^22t\cdot cos2t)\, dt=\\\\=\frac{3a^2}{2} \int\limits^{\pi /2}_0\, (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4t+cos2t-(1-sin^22t)cos2t )\, dt=\\\\=\frac{3a^2}{2}\int\limits^{\pi /2}_0\, (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos4t+sin^22t\cdot cos2t)\, dt=\\\\=\frac{3a^2}{2}\cdot (\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}sin4t+\frac{1}{2}\cdot \frac{sin^32t}{3})\Big |_0^{\pi /2}=\\\\=\frac{3a^2}{2}\cdot (\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}sin2\pi +\frac{1}{6}sin^3\pi )=\frac{3\pi a^2}{8}$