Question

Помогите решить уравнение...спасибо заранее, уравнение на фото

Answer 1

сos(4arctgx)=1/2

4arctgx=±arccos(1/2)+2πn, n∈Z;

4arctgx=±π/3+2πn, n∈Z;

arctgx=±π/12+πn/2, n∈Z;

x=tg(±π/12+πn/2), n∈Z;

cos((±π/12+πn/2))≠0

Поскольку арктангенс - это угол из (-π/2;π/2), при n =0 получим два ответа х=tg(±π/12).

tg(π/12)=(tg(π/4-π/6))=(1 -√3/3)/ (1+√3/3)=

(3-√3)/(3+√3) =  (3-√3)²/(3²-(√3)² ) =(12-2√3)/(9-3)=2-√3/3

tg(-π/12)=-tg(π/12)=-(2-√3/3)=-2+√3/3

При n=1   х=tg(±π/12+π/2), указанному промежутку удовлетворяет tg(5π/12)=(tg(π/4+π/6))=(1 +√3/3)/ (1-√3/3)=

(3+√3)/(3-√3) =  (3+√3)²/(3²-(√3)² ) =(12+2√3)/(9-3)=2+√3/3                                                                

При n=-1   х=tg(±π/12-π/2), указанному промежутку удовлетворяет tg(-5π/12)=-tg5π/12=-(2+√3/3 )=-2-√3/3

При n=2   х=tg(±π/12+π); и при n=-2   х=tg(±π/12-π), Корней нет.  Остальные можно не проверять, они не войдут в промежуток

(-π/2;π/2).

Ответ. х=±(2-√3/3); х=±(2+√3/3 )