Question

Решить уравнение $\frac{x^2+6x+1}{x+1}=4\sqrt{x}$

Answer 1

Перепишем уравнение в виде

$x+1+\dfrac{4x}{x+1}=4\sqrt{x}$

Понятно, что уравнение существует только при x ≥ 0.

Применим неравенство Коши:

$x+1+\dfrac{4x}{x+1}\geqslant2\sqrt{(x+1)\cdot \dfrac{4x}{x+1}}=4\sqrt{x}$

Отсюда следует, что примененное неравенство Коши превратилось в равенство. Следовательно, мы получим

$x+1=\dfrac{4x}{x+1}~~~\Rightarrow~~~ x^2+2x+1=4x~~~\Rightarrow~~~ x^2-2x+1=0\\ \\ (x-1)^2=0~~~\Rightarrow~~~ x=1$

Ответ: 1.

Answer 2

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:  x ≥ 0

Запишем уравнение в виде : x² +6x + 1 = 4√x·(x+1)  или :

x² +2x +1 -  4√x·(x+1) +4x = 0 ⇔ (x+1)² -  4√x·(x+1) +4x  = 0 ⇔

( x+ 1 -2√x)² = 0 ⇔ x+1 = 2√x ⇔ x² +2x +1  = 4x ⇔ ( x - 1 )² = 0 ⇔ x = 1