Question

xy'-y=-x Розв'язати лінійне диференціальне рівняння першого порядку

Answer 1

Поделим обе части уравнения на х

y' - y/x = -1

Умножим левую и правую части уравнения на интегрирующий множитель

$\mu (x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=e^{-\ln |x|}=\dfrac{1}{x}$

$y'\cdot \dfrac{1}{x}-y\cdot \dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{1}{x}~~~~\Rightarrow~~~ y'\cdot \dfrac{1}{x}+y\cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x}\\ \\ \\ \left(y\cdot\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x}~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \dfrac{y}{x}=\int -\frac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{y}{x}=-\ln|x|+C\\ \\ \\ \boxed{y=Cx-x\ln|x|}$

Получили общее решение.